BILANGAN PECAHAN BIASA DAN PECAHAN DESIMAL

BILANGAN PECAHAN BIASA DAN PECAHAN DESIMAL Bilangan Pecahan dan Operasinya PENGERTIAN PECAHAN Pecahan sangat membantu kita didalam kehidupan sehari-hari, contohnya jika kita ingin membagi makanan tetapi banyaknya makanan kurang dari atau lebih dari dan bukan merupakan kelipatan dari banyaknya orang yang akan dibagi, disini pecahan sangat membantu dalam menyelesaikan masalah ini. Bilangan pecahan dapat di peragakan atau ditunjukkan sebagai perbandingan bagian yang sama terhadap keseluruhan dari suatu benda atau himpunan bagian yang sama terhadap keseluruhan dari suatu himpunan. Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut : Pecahan melambangkan perbandingan bagian yang sama dari suatu benda terhadap keseluruhan benda tersebut. Contoh 1 : Gambar 1.1 mewakili bilangan satu Contoh 2 : 1 1/2 1/2 0 1 Pecahan melambangkan perbandingan himpunan bagian yang sama dari suatu himpunan terhadap keseluruhan himpunan semula. Contoh 3 : Dari keterangan tersebut disimpulkan bahwa bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dilambangkan a/b , a dinamakan pembilang dan b dinamakan penyebut dimana a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bentuk a/b juga dapat diartikan a:b ( a dibagi b ). Pembelajaran konsep pecahan pada siswa SD Menerangkan konsep pecahan pada siswa SD hendaknya diawali dengan menggunakan benda konkret, semi konkret, kemudian abstrak. Benda konkret sebagai alat peraga penanaman konsep pecahan Pilih benda yang ada pada lingkungan siswa Untuk menjelaskan konsep pecahan pada anak SD, sebaiknya gunakanlah benda-benda yang ada dilingkungan siswa. Hal ini harus diperhatikan, karena jika menggunakan benda yang belum pernah dikenal siswa, siswa akan terfokus kepada jenis bendanya bukan kepada konsep yang diigunakan. Pilih benda yang mempunyai bentuk teratur Jika ingin menjelaskan konsep pecahan pada anak SD, gunakanlah bentuk benda yang teratur agar memudahkan guru untuk membagi-bagi benda sesuai keinginan dan memudahkan siswa untuk memahami konsep yang diajarkan oleh guru. Jangan menggunakan benda 3 dimensi pada awal pengenalan konsep pecahan, karena akan menyulitkan siswa untuk mengontrol kesamaan bagian-bagiannya. Penggunaan benda semi konkret dalam menerangkan konsep pecahan Benda semi konkret adalah gambar dari bentuk benda konkret. Penggunaan benda semi konkret akan membawa siswa kepada jenjang pemikiran yang lebih tiggi. Pada tahap ini, bawalah siswa untuk membayangkan benda tersebut untuk keberhasilan konsep ini. Contoh cara untuk menerangkan konsep pecahan kepada anak SD kelas III. Buat bangun geometri dari kertas manila atau kertas lainnya. Misalnya, lingkaran dan persegi. Arsirlah setengah dari permukaan benda tersebut, untuk menunjukan pecahan ½ 1 1 ½ ½ MUKA BELAKANG Gambar 1.7 Tunjukan dan terangkan kepada siswa bahwa bagian muka benda tersebut mewakili 1. Lipat bagian tersebut sehingga kita dapat menunjukkan kepada siswa bahwa yang utuh jadi dua bagian yang sama. Tunjukkan dan terangkan bagian belakang benda tersebut yang diarsir adalah setengah dari benda tersebut. Setelah siswa mengerti bahwa yang diarsir dan tidak diarsir adalah setengah, maka perkenalkan lambangnya. Berikan latihan berulang-ulang dengan pengenalan latihan bertahap, misalnya latihan untuk pecahan 1/3, 1/5, 2/3, 3/5 dan seterusnya. Macam-macam Pecahan Pecahan ada dua macam, yaitu pecahan murni (sejati) dan pecahan campuran. Pecahan murni Adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil ari penyebutnya dan pecahan itu tidak dapat disederhanakan lagi. Contoh : 1/2, 1/3, 5/7, 11/15 dan seterusnya. Pecahan campuran Yaitu pecahan yang terdiri dari campuran bilangan bulat dengan bilangan pecahan murni (sejati). Contoh : 1 1/2, 2 5/9, -5 8/17 dapat ditulis 3/2, 23/9, 85/17 PECAHAN SENILAI Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang cara penulisannya berbeda, tetapi mempunyai hasil bagi sama dan mewakili bagian atau daerah yang sama. 9/12 a = = 3/4 9/12 1/4 1/4 1/4 3/4 8/12 2/3 lebih sederhana dari 6/9 , 8/12 faktor sekutu pembilang dan penyebut 4 6/9 2/3 lebih sederhana dari 6/9, 6/9 faktor sekutu pembilang dan penyebut 3 4/6 2/3 lebih sederhana dari 4/6 , 4/6 faktor sekutu pembilang dan penyebut 2 2/3 pecahan sederhana, pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor sekutu 2/3, 4/6, 6/9, 8/12 adalah pecahan-pecahan yang senilai. Menentukan pecahan senilai Aturan untuk menentukan pecahan senilai adalah : a/b = (a x c)/(b x c) c = 1 Contoh : 3/4 = 9/12 adalah pecahan senilai Pembuktian : 3/4 = 3/4 x 1 3/4 = 3/4 x 3/4 3/4 = (3 x 3)/(4 x 3) 3/4= 9/12 adalah pecahan senilai. Aturan untuk mentukan pecahan senilai dengan menyederhanakan pecahan : a/b= (a∶c)/(b∶c) c/c = 1 Cara untuk menentukan dua pecahan yang senilai Cara mudah untuk menentukan dua pecahan yang senilai adalah dengan perkalian silang kedua pecahan tersebut, apabila hasil perkalian silang tersebut sama maka kedua pecahan tersebut senilai. a/b= c/d, jika a x d = b x c a/b x c/d Contoh : 7/21= 1/3  ya, Karena 7 x 3 = 21 x 1 21 = 21 12/34= 1/2  tidak, karena 12 x 2 ≠ 34 x 1 24 ≠ 34 MENGURUTKAN PECAHAN DAN MENGGUNAKAN GARIS BILANGAN Bilangan pecahan dapat diurutkan dengan menggunakan garis bilangan. Setiap pecahan a/b (a dan b bulat, b ≠ 0) dapat dipasangkan dengan tepat satu titik pada garis bilangan. Cara mengurutkannya, jika penyebutnya sama, maka urutkan menurut besar kecilnya pembilang. Jika penyebutnya belum sama, maka disamakan dulu dengan menggunakan pecahan senilai, baru urutkan bilangannnya. Contoh : Tuliskan pecahan-pecahan yang diwakili oleh titik-titik A, B, C, D dan E pada garis pembilang berikut ini. A B C D E 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1 7/6 8/6 9/6 10/6 11/6 2 Bandingkan 1/3 dan 3/4 dengan menggunakan garis bilangan. Buatlah 2 garis bilangan, kemudian gambarlah titik 1/3 pada garis bilangan 1 dan gambarlah titik 3/4 pada garis bilangan 2. Setelah itu, tarik garis dari titik 1/3 kebawah sampai memotong garis bilangan 2. 0 1/3 2/3 1 0 1/4 2/4 3/4 1 Tampak bahwa titik 1/3 di kiri titik 3/4, ini berarti 1/3 lebih kecil dari pada 3/4. MEMBANDINGKAN PECAHAN (DENGAN TANDA <, = ATAU > Jika sudah memahami konsep pecahan senama, maka tidak sulit bagi anda untuk memahami cara membandingkan pecahan. Kita akan membandingkan pecahan-pecahan dengan menggunakan tanda < ( lebih kecil dari), > ( lebih besar dari ), = ( sama dengan ). Pecahan-pecahan dengan pembilang atau penyebut yang sama Pecahan-pecahan dengan pembilang sama Untuk mengurutkannya harus diperhatikan bahwa pecahan yang penyebutnya terkecil adalah pecahan yang terbesar dan sebaliknya pecahan yang penyebutnya terbesar adalah pecahan yang terkecil atau dengan letak pecahan pada garis bilangan lebih ke kiri maka pecahan itu yang terkecil. Contoh : 3/4 …. 3/2 , pecahan yang terbesar adalah 3/(2 ) karena penyebutnya lebih kecil dari penyebut pada pecahan 3/4. Maka diperoleh 3/4 < 3/2 1/2 …. 1/3 , pecahan yang terkecil adalah 1/3 karena 1/3 penyebutnya lebih besar dari penyebutnya pada 1/2, sehingga 1/2 > 1/3. Pecahan-pecahan dengan penyebut sama Untuk mengurutkannya, perlu diperhatikan bahwa pecahan yang pembilangnya terkecil adalah pecahan terkecil dan sebaliknya pecahan yang pembilangnya terbesar adalah pecahan terbesar. Atau jika dilihat dengan garis bilangan jika letak pecahan kiri lebih kecil dari pecahan sebelah kanan. Contoh : 4/7 …. 3/7, karena 4 > 3 maka 4/7 > 3/7 . apabila digambarkan pada garis bilangan maka tampak sebagai berikut : 0 1/1 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 1 Letak 3/7 lebih ke kiri dibandingkan 4/7 maka 3/7 lebih kecil dari 4/7 2/5 …. 3/5 , karena 2 < 3 maka 2/5 < 3/5 . pada garis bilangan tampak sebagai berikut : 0 1/5 2/5 3/5 4/5 Letak 2/5 lebih ke kiri dibandingkan dengan letak 3/5 maka 2/5 lebih kecil dari 3/5 Pecahan dengan pembilang dan penyebut berbeda untuk pecahan dengan pembilang dan penyebut berbeda, langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyamakan penyebut kedua pecahan tersebut. Setelah itu, diurutkan dengan ketentuan, seperti pada pecahan yang sama penyebutnya. Contoh : Berilah tanda <, > dan = untuk pandangan pecahan berikut ! 4/5 …. 5/6 langkah pertama menyamakan penyebut kedua pecahan tersebut menjadi 20/30 dan 25/30 Setelah penyebut kedua pecahan tersebut sama, maka urutkan dengan memperhatikan besar pembilangnya. Untuk pecahan dengan pembilang lebih besar maka pecahan tersebut lebih besar atau sebaliknya pecahan yang pembilangnya lebih kecil maka pecahan tersebut lebih kecil. OPERASI PECAHAN Maksud dari pecahan diatas adalah pecahan biasa, yaitu pecahan yang dilambangkan sebagai a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat, b ≠ 0 dan │a│<│b│. Operasi penjumlahan Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama Penjumlahan bilangan pecahan dapat diperagakan dengan : Benda konkret, misalnya buah-buahan, kue , alat tulis, dsb. Model bangun-bangun bidang datar, seperti persegi panjang, segitiga dan lingkaran. Peragaan penjumlahan pecahan dengan benda konkret. 1/4+ 2/4= 3/4 + = 1/4 2/4 3/4 Peragaan penjumlahan pecahan dengan tali raffia. 3/11+ (-4/11) = -1/11 Langkah I, mulai dari titik 0 melangkah ke kanan sebanyak tiga langkah, yaitu sampai pada titik 3/11 Langkah II, karena banyak bertanda negative maka mulai pada titik 3/11, melangkah ke kiri sebanyak 4/11 sampai pada titik -1/11 4/11 3/11 (-5)/11 (-4)/11 (-3)/11 (-2)/11 (-1)/11 0 1/11 2/11 3/11 4/11 5/11 6/11 7/11 Penjumlahan pecahan dengan benda prakonkret atau semi konkret. Penjumlahan menggunakan model bangun bidang datar. Pecahan yang penyebutnya sama dapat disajikan dengan menggunakan gambar model bangun datar yang mengacu pada luas daerah dan garis bilangan. Misalnya, menggunakan luas daerah persegi panjang, segitiga, lingkaran, dsb. Apabila kita menggunakan model luas daerah segi banyak, sebaiknya daerah segi banyak beraturan. Contoh : 1/3+1/3 = 2/3 + = 1/3 1/3 2/3 Dapat disimpulkan bahwa : Penjumlahan pecahan yang penyebutnya tidak sama Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya tidak sama, langkah pertama yang harus dilakukan adalah samakan dulu penyebutnya. Contoh : 1/3+ 1/4 = Cari dahulu pecahan yang senilai dengan 1/3 dan 1/4. Yang senilai dengan 1/3 adalah 2/6, 4/12, 6/18, … Yang senilai dengan 1/4 adalah 2/8, 3/12, 4/16, … Kemudian kita dapatkan 4/12 dan 3/12. Sehingga 1/3+ 1/4= 1.4/3.4+ 1.3/4.3 = 4/12+ 3/12 = (4+3)/12 =7/12 Hal ini dapat ditunjukkan menggunakan alat peraga berikut. 4/12 + 3/12 = 7/12 Bentuk umum dari penjumlahan yang penyebutnya berbeda : a/b+ c/d= (a x d)/(b x d )+ (c x b)/(d x b) Penjumlahan pecahan biasa dan pecahan campuran Dalam menjumlahkan pecahan biasa dengan pecahan campuran, dapat dilakukan langkah-langkah berikut. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa. Langkah kedua yaitu menyamakan penyebutnya. Langkah ketiga yaitu menjumlahkan keduanya. Contoh : 1/2+ 13/4 1 3/4=1+ 3/4=1.4/1.4+ 3.1/4.1 atau 1 3/4=(4+3)/4 = 1 3/4= 7/4 Yang senilai dengan 1/2, yaitu 2/4,3/6,4/8,… Maka diperoleh yang penyebutnya sama dengan 7/4 adalah 2/4 2/4+ 7/4= 9/12 Penjumlahan pecahan campuran Untuk pecahan yang penyebutnya sama dapat dilakukan dengan menjumlahkan bilangan-bilangan bulat dan bilangan-bilangan pecahan secara langsung. Contoh : 3 2/5+ 41/5=(3+4)+ (2/5+ 1/5) = 7 + 3/5 = 7 3/5 Sifat-sifat operasi penjumlahan pada pecahan Komutatif (pertukaran) Dapat dirumuskan : Contoh : 3/7+ 2/7= 2/7+ 3/7 4/11 + 6/11= 6/11+ 4/11 5/15+ 6/15= 5/15+ 8/15 Assosiatif (pengelompokan) Dapat dirumuskan : Contoh : (5/12+ 3/12) + 1/12= 5/12+(3/12+ 1/12) (7/17+ 5/17)+ 3/17= 7/17+ (5/17+ 3/17) (1/9+ 2/9)+ 3/9= 1/9+(2/9+ 3/9) Identitas pada operasi penjumlahan pecahan Contoh : 1/2+ 0=0+ 1/2 1/2= 1/2 Secara umum a/b+ 0=0+ a/b a/b= a/b Bilangan 0 dinamakan identitas pada operasi penjumlahan Operasi pengurangan Pengurangan pecahan yang penyebutnya sama Pengurangan bilangan pecahan yaitu mencari suku yang belum diketahui pada penjumlahan apabila jumlahnya sudah diketahui. Misalnya, 2 + p = 7, untuk menghitung p dapat ditulis 7 + 2 = p. dan untuk mencari p dapat digunakan benda-benda konkret. Rumus dalam operasi pengurangan pecahan: Contoh : 4/5- 3/5 4/5 - 3/5 = 1/5 Atau dengan garis bilangan. 0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 Jadi, 4/5- 3/5= 1/5 sebab 3/5+ 1/5= 4/5 Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda Tidak berbeda dengan pecahan yang penyebutnya berbeda, pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda juga perlu menentukan nama lain dari pecahan itu. Rumus pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda adalah: Contoh : 5/7- 3/4 Nama lain dari 5/7 adalah 10/14,15/21,20/28,25/35… Nama lain dari 3/4 adalah 3/4,9/12,12/16,15/20,18/24¸21/28… Sehingga 5/7- 3/4= 20/28- 21/28= -1/28 Operasi perkalian Perkalian bilangan asli dan pecahan Perkalian pecahan dengan pecahan Sifat-sifat perkalian pecahan Sifat komutatif ( pertukaran ) Rumus : Contoh : 1/2 x 2/3= 2/3 x 1/2 1/2 x 2/3= 1/3 2/3 x 1/2= 1/3 Jadi, benar 1/2 x 2/3= 2/3 x 1/2 Sifat assosiatif ( pengelompokkan ) Rumus : Contoh : (2/3 x 3/4) x 2/3= 2/3 x (3/4 x 2/3) (2/3 x 1/4) x 2/3= 1/2 x 2/3= 1/3 2/3 x (3/4 x 2/3)= 2/3 x 1/2= 1/3 Jadi, benar (2/3 x 3/4) x 2/3= 2/3 x (3/4 x 2/3) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan Rumus : Contoh : 3/5 x (2/3 x 3/4)= (3/5 x 2/3)+ (3/5 x 3/4) 3/5 x (2/3+ 3/4)= 3/5 x (8/12+ 9/12) = 3/5 x 7/12= 51/60= 17/20 (3/5 x 2/3)+(3/5 x 3/4)=6/15+9/20= 24/60+27/60= 51/60=17/20 Jadi, benar bahwa 3/5 x(2/3+ 3/4)= (3/5 x 2/3)+(3/5 x 3/4) Sifat distributive perkalian terhadap pengurangan Rumus : Contoh : 3/5 x (3/4- 1/2)= (3/5 x 3/4)-(3/5 x 1/2) 3/5 x (3/4- 1/2)= 3/5 x (3/4-2/4) = 3/5 x 1/4= 3/20 (3/5 x 3/4)-(3/5 x 1/2)=9/20-3/10= 9/20-6/20= 3/20 Jadi, benar bahwa 3/5 x(3/4- 1/2)= (3/5 x 3/4)-(3/5 x 1/2) Identitas a/p x 1= a/p,1 adalah identitas perkalian Operasi pembagian pecahan Pembagian yaitu mencari faktor baru yang belum diketahui pada suatu perkalian. Pembagian bilangan asli dengan bilangan asli yang menghasilkan pecahan Contoh : Pada waktu berangkat ke sekolah Tuti diberi bekal 1 roti oleh ibunya. Ketika bel istirahat berbunyi Tuti ingin membagi dua sama bagian dengan Yeti temannya. Berapakah bagian masing-masing roti? Penyelesaian : Tuti mempunyai roti akan dibagi dua sama besar dengan Yeti; dapat ditulis 1 : 2 jika diperagakan, maka 1 : 2 = ½ roti jadi, Tuti mendapat 1/2 roti dan Yeti 1/2 roti. Pembagian bilangan asli dengan pecahan Berapakah 1 : ½ ? Misalnya kita mempunyai selembar kertas sebagai satuan. Kertas itu kita lipat (jangan digunting) menjadi setengah-setengah. 1/2 1/2 Ternyata bahwa dalam 1 satuan terdapat 2 setengahan. Jadi, 1 : 1/2 = 2 2.Pecahan Desimal PENGERTIAN PECAHAN DESIMAL Sebelumnya kita telah mengenal bentuk-bentuk pecahan seperti : 3/4 adalah pecahan murni 1 1/2 adalah pecahan campuran Semuanya termasuk kedalam pecahan biasa. Bentuk lain dari pecahan adalah pecahan desimal. Pecahan desimal menyatakan nilai tempat per-puluhan (1/10=0,1), per-ratusan (1/100=0,01),per-ribuan (1/1000=0,001), dan seterusnya. 0 1 2 0 1/4 2/4 3/4 4/4=1 5/4 6/4 2 0 0,25 0,50 0,75 1,0 1,25 1,50 2 Dengan ketiga garis bilangan diatas terlihat keterkaitan antara bilangan cacah, bilangan pecahan biasa dan pecahan desimal pada garis bilangan. 1/4= 25/100 ⇒ 25/100 ditulis dalam desimal menjadi 0,25 Jadi, 1/4=0,25 (cara lain untuk menulis 1/4 adalah 0,25) MEMBACA BILANGAN DALAM PECAHAN DESIMAL Pecahan desimal mempunyai tiga bagian dalam cara penulisannya, yaitu : Bilangan disebelah kiri tanda koma menyatakan bilangan bulatnya Tanda koma sebagai pembatas Bilangan disebelah kanan koma, menyatakan pecahannya. Contoh : 0,48 dibaca “empat puluh delapan per-seratus” 2,05 dibaca “dua lima per-seratus” 13,123 dibaca “tiga belas seratus dua puluh tiga per-seribu” 431,25 dibaca “empat ratus tiga puluh satu dua puluh lima per-seratus” MENGUBAH PECAHAN DESIMAL KE PECAHAN BIASA DAN SEBALIKNYA. Mengenal tempat desimal Banyak angka dibelakang koma pada pecahan desimal menunjukkan tempat desimal. Contoh : 1,24 pecahan dalam dua angka dibelakang koma 32,103 pecahan dalam tiga angka dibelakang koma 0,0001 pecahan dalam empat angka dibelakang koma Mengubah pecahan desimal ke pecahan biasa Mudah dilakukan karena angka dibelakang koma menunjukkan banyaknya angka nol pada penyebut pecahan biasa. Contoh : 0,5 = 5/10 = 31/100=0,31 0,24 = 24/100 = 6/25 12,25 = 1225/100=121/4 Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal Ada dua cara untuk mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal, yaitu : Mengubah penyebut menjadi kelipatan 10 Contoh : 2/10=0,2 2/5=2x2/5x2= 4/10=0,4 1/125=1/5^3 =(1x2^3)/(5^3 x2^3 )=8/1000=0,008 7/8=7/2^3 =(7x5^3)/(2^3 x5^3 )=875/1000=0,875 Cara bersusun kebawah Contoh : 0,4 1/2 5 █(0@@0)/█(20@@20/0) Maka 1/2 = 0,4 PECAHAN DESIMAL SENAMA Pecahan desimal disebut senama jika kedua pecahan tersebut akan menghasilkan nilai yang sama apabila pecahan tersebut diubah menjadi pecahan biasa. Contoh : 0,4 = 1/2= 4/10= 2/5 0,55 = 55/100=11/20 Fungsi pecahan desimal senama adalah untuk membandingkan pecahan dan untuk melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan pada pecahan desimal. Membandingkan pecahan bermanfaat untuk menentukan urutan bilangan dari yang terkecil ke yang terbesar atau sebaliknya. Contoh : 0,29, 0,41, 0,375  diurutkan dari yang terkecil ke terbesar menjadi 0,29. 0,375, 0,41